Question

在平面直角坐标系中，点P到两圆C₁与C₂的圆心的距离之和等于4，其中C₁：，C₂：. 设点P的轨迹为．

（1）求C的方程；

（2）设直线与C交于A，B两点．问k为何值时？此时的值是多少？

Answer

(1) (2)

【解析】

试题分析：

(1) 通过配方把圆和圆的普通方程化为标准方程,得到圆心的坐标,根据椭圆的定义可以判断C点轨迹为椭圆,其中两个圆的圆心为焦点可得且椭圆的焦点在y轴上,根据题意,李永刚之间的关系即可求出的值,进而得到C的方程.

(2)联立直线与椭圆的方程消元得到二次方程,二次方程的根AB两点的横坐标,利用二次方程根与系数的关系得到AB两点横坐标之间的关系,利用得到AB横纵坐标之间的关系即可求出k的值,再利用椭圆的弦长公式即可求出的长度.

试题解析：

（1）由已知得两圆的圆心坐标分别为. （1分）

设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴长为2的椭圆． （2分）

它的短半轴长， （3分）

故曲线C的方程为． （4分）

（2）设，其坐标满足

消去y并整理得， （5分）

∵， ，∴，

故． （6分）

又 （7分）

于是． （8分）

令，得. （9分）

因为，

所以当时，有，即. （10分）

当时，，． （11分）

， （12分）

而， （13分）

所以． （14分）

考点：弦长 内积 椭圆定义 圆