Question

如图，在直三棱柱中，D、E分别是BC和的中点，已知AB=AC=AA₁=4，BAC=90.

（1）求证：⊥平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）求三棱锥的体积.

Answer

(2) (3)8

【解析】

试题分析：

(1)(2)(3)均可利用坐标法,即分别以建立三维空间坐标系.下面重点分析法2

(1)利用勾股定理可以求的线段的长,而要证明面,只需要证明,首先可以三次利用勾股定理把的三条边长求出,再利用勾股定理证明,线段为等腰直角三角形ABC的三线合一即有,可得到面,进而得到,即可通过线线垂直证明面DAE.

(2)要求二面角的余弦值,需要作出该二面角的平面角,为此过D做DM⊥AE于点M，连接B1M.,根据第一问有面AED且可以得到面,则即为所求二面角的平面角,即该角的余弦值为.利用勾股定理即可得到的长,进而得到二面角的余弦值.

(3)由(1)可得面,则该三棱锥可以以作为底面,高为来求的体积,而AD和三角形的面积都可以用勾股定理求的.

试题解析：

法1:依题意，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.因为＝4，所以A（0，0，0），B（4，0，0），E（0，4，2），D（2，2，0），B1（4，0，4）. （1分）

（1），，. （2分）

因为，所以，即. （3分）

因为，所以，即. （4分）

又AD、AE平面AED，且AD∩AE=A，故⊥平面. （5分）

（2）由（1）知为平面AED的一个法向量. （6分）

设平面 B1AE的法向量为，因为，，

所以由，得，令y=1，得x=2，z=-2.即.（7分）

∴， （8分）

∴二面角的余弦值为. （9分）

（3）由，，得，所以AD⊥DE. （10分）

由，，得. （11分）

由（1）得B1D为三棱锥B1-ADE的高，且， （12分）

所以. （13分）

法2:依题意得，平面ABC，，，

，.

（1）∵，D为BC的中点，∴AD⊥BC.

∵B1B⊥平面ABC，AD平面ABC，∴AD⊥B1B.

BC、B1B平面B1BCC1，且BC∩B1B=B，所以AD⊥平面B1BCC1.

又B1D平面B1BCC1，故B1D⊥AD . （2分）

由，，，

得，所以. （4分）

又AD、DE平面AED，且AD∩DE=E，故⊥平面. （5分）

（2）过D做DM⊥AE于点M，连接B1M.

由B1D⊥平面AED，AE平面AED，得AE ⊥B1D.

又B1D、DM平面B1DM，且B1D∩DM=D，故AE⊥平面B1DM.

因为B1M平面B1DM，所以B1M⊥AE.

故∠B1MD为二面角B1—AE—D的平面角. （7分）

由（1）得，AD⊥平面B1BCC1，又DE平面B1BCC1，所以AD⊥DE.

在Rt△AED中，， （8分）

在Rt△B1DM中，，

所以，即二面角B1—AE—D的余弦值为. （9分）

（3）由（1）得，AD⊥平面B1BCC1，

所以AD为三棱锥A-B1DE的高，且. （10分）

由（1）得. （11分）

故. （13分）

考点：勾股定理 坐标法 线面垂直 三棱锥体积