Question

已知数列的前n项和为，且满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设为数列{}的前n项和，求；

（3）设，证明：.

Answer

(1) (2) （3）见解析

【解析】

试题分析：

(1)当带入式子结合即可得到的值,当时,利用与的关系()即可得到是一个常数,即可得到数列为等差数列,但是需要验证是否符合,进而证明为等差数列,即可求的通项公式.

(2)把(1)中得到的的通项公式带入可得,即为等差数列与等比数列的乘积,故需要利用错位相减法来求的前n项和.

(3)把(1)得到的带入,观察的通项公式为分式,为求其前n项和可以考虑利用裂项求和法.进行裂项,在进行求和就可以得到的前n项和为,利用非负即可证明原不等式.

试题解析：

（1）由题意，当时，有， （1分）

两式相减得 即. （2分）

由，得.

所以对一切正整数n，有， （3分）

故，即. （4分）

（2）由（1），得，

所以 ① （5分）

①两边同乘以，得 ② （6分）

①-②，得， （7分）

所以， （8分）

故. （9分）

（3）由（1），得 （12分）

（13分）

. （14分）

考点：裂项求和 错位相减 不等式