Question

设双曲线C：（a>0，b>0）的一个焦点坐标为（，0），离心率， A、B是双曲线上的两点，AB的中点M（1，2）.

（1）求双曲线C的方程；

（2）求直线AB方程；

（3）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？

Answer

(1) (2) （3）是，理由见解析

【解析】

试题分析：

(1)根据题意已知,则利用双曲线a,b,c之间的关系与离心率的定义即可求出的值,进而得到双曲线的标准方程.

(2)根据题意可得AB为双曲线的一条弦,要求弦所在直线,还需要斜率,可以采用点差法利用弦的中来求解弦的斜率,已知了弦所在直线的斜率与弦上的中点坐标,再利用直线的点斜式即可求出弦所在直线的方程.

(3)由(2)可得AB直线的方程,联立直线AB与双曲线的方程消元解二次方程即可得到A,B两点的坐标,已知AB线段的斜率与中点即可求的AB垂直平分线的直线方程,联立垂直平分线与双曲线的方程消元解二次方程即可求的CD两点的坐标.

试题解析：

（1）依题意得，解得a=1. （1分）

所以， （2分）

故双曲线C的方程为. （3分）

（2）设，则有 .

两式相减得： ， （4分）

由题意得，，， （5分）

所以，即. （6分）

故直线AB的方程为. （7分）

（3）假设A、B、C、D四点共圆，且圆心为P. 因为AB为圆P的弦，所以圆心P在AB垂直平分线CD上；又CD为圆P的弦且垂直平分AB，故圆心P为CD中点M. （8分）

下面只需证CD的中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|即可.

由得：A（-1，0），B（3，4）. （9分）

由（1）得直线CD方程：， （10分）

由得：C（-3+，6-），D（-3-，6+）， （11分）

所以CD的中点M（-3，6）. （12分）

因为，，

，， （13分）

所以，

即 A、B、C、D四点在以点M（-3，6）为圆心，为半径的圆上. （14分）

考点：双曲线 直线与圆锥曲线 弦长 共圆