Question

设函数.

（1）若函数在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；

（2）当a=1时，求函数在区间[t，t+3]上的最大值.

Answer

(1) (2)

【解析】

试题分析：

(1)根据题意对函数求导,获得导函数的根与大于0小于0的解集,获得函数的单调区间和极值点,极值.进而确定函数在区间上的单调性,再利用数形结合的思想与零点存在性定理的知识可以得到函数在上要有两个零点,需要满足即可,解不等式即可求出的取值范围.

(2)根据题意,则利用(1)可以得到的单调性以及极值点,极值.要得到函数在含参数的区间上的最大值,我们需要讨论的范围得到函数的在区间上的单调性进而得到在该区间上的最大值,为此分三种情况分别为,依次确定单调性得到最大值即可.

试题解析：

（1）∵

∴， （1分）

令，解得 （2分）

当x变化时，，的变化情况如下表：

0

—

0

↗

极大值

↘

极小值

↗

故函数的单调递增区间为（-∞，-1），（a，+∞）；单调递减区间为（-1，a）；（4分）
因此在区间（-2，-1）内单调递增，在区间（-1，0）内单调递减，要使函数在区间内恰有两个零点，当且仅当， （5分）
解得， 所以a的取值范围是（0，）. （6分）

（2）当a=1时，. 由（1）可知，函数的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞）；单调递减区间为（-1，1）；. （7分）

①当t+3<-1，即t<-4时，

因为在区间[t，t+3]上单调递增，所以在区间[t，t+3]上的最大值为； （9分）
②当，即时，

因为在区间上单调递增，在区间[-1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，且，所以在区间上的最大值为. （10分）

由，即时，有[t，t+3] ，-1[t，t+3]，所以在上的最大值为； （11分）

③当t+3>2，即t>-1时，

由②得在区间上的最大值为.

因为在区间（1，+∞）上单调递增，所以，

故在上的最大值为. （13分）

综上所述，当a=1时，

在[t，t+3]上的最大值. （14分）

考点：导数 最值 零点