Question

已知正项数列中，其前项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，，求证：；

（3）设为实数，对任意满足成等差数列的三个不等正整数 ，不等式都成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）证明过程详见解析；（3）.

【解析】

试题分析：本题主要考查等差数列的通项公式、前n项和公式、错位相减法、恒成立问题、基本不等式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力、转化能力.第一问，法一，利用转化已知表达式中的，证明数列为等差数列，通过，再求；法二，利用转化，证明数列为等差数列，直接得到的通项公式；第二问，结合第一问的结论，利用错位相减法证明不等式的右侧，而，利用放缩法，得，从而证明了不等式的左边，即得证；第三问，利用等差中项的概念得到m，n，k的关系，先将不等式都成立转化为，则关键是求出的最小值，利用基本不等式求函数最值.

（1）法一：由得

当时，，且，故 １分

当时，，故，得，

∵正项数列，

∴

∴是首项为，公差为的等差数列. ４分

∴ ，

∴ . 5分

法二：

当时，，且，故 1分

由得，

当时，

∴ ，整理得

∵正项数列，，

∴ ， 4分

∴是以为首项，为公差的等差数列，

∴ . 5分

（2）

∴

∴

∴两式相减得

8分

∵ ，∴

∵ ∴

∴ 10分

（3）∵ 不等正整数是等差数列，

∴ ，

∴ ， 11分

又，

∴

故实数的取值范围为. 14分

考点：等差数列的通项公式、前n项和公式、错位相减法、恒成立问题、基本不等式.