Question

已知函数，．

（1）若的极大值为，求实数的值；

（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；

(3)若函数f（x）满足：在定义域内存在实数x₀，使f（x₀+k）= f（x₀)+ f（k）(k为常数)，则称“f（x）关于k可线性分解”. 设，若关于实数a 可线性分解，求取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用导数求出极值，令极值为，解方程得b的值，先对求导，利用“为递增函数，为递减函数”判断函数单调性，利用单调性判断极大值为；第二问，将“对任意，都有恒成立”转化为“”，令，利用导数求的最小值；第三问，先利用已知得到的解析式，代入到已知的f（x0+k）= f（x0)+ f（k）中，得到方程，根据函数定义域，得.

（1）由，得，

令，得或． 2分

当变化时，及的变化如下表：

-

+

-

↘

极小值

↗

极大值

↘

所以的极大值为=，

． 4分

（2）由，得．

，且等号不能同时取，

，即

恒成立，即 6分

令，求导得，，

当时，，从而，

在上为增函数，

，

． 9分

（3）证明：

由已知，存在，使关于实数a 可线性分解，则，

即： 10分

， 12分

因为 所以 14分

考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值.