Question

袋中装有大小和形状相同的小球若干个黑球和白球，且黑球和白球的个数比为４:３,从中任取2个球都是白球的概率为现不放回从袋中摸取球，每次摸一球，直到取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需要的取球次数.

（1）求袋中原有白球、黑球的个数；

（2）求随机变量的分布列和数学期望.

Answer

（1）袋中原有3个白球和4个黑球；（2）分布列详见解析，.

【解析】

试题分析：本题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，设出袋中白球和黑球个数，由于从中任取2个都是白球，则可列出，利用组合数的计算，计算出n的值，从而得到白球和黑球个数；第二问，利用第一问的结论，利用不放回抽样，计算出每一种情况的概率，列出分布列，利用计算出数学期望.

（1）依题意设袋中原有个白球,则有个黑球.

由题意知， 4分

即，解得，

即袋中原有3个白球和4个黑球. 5分

（2）依题意，的取值是.

，即第1次取到白球，

，即第2次取到白球

同理可得，

10分

分布列为

1

2

3

4

5

12分

考点：古典概型、离散型随机变量的分布列和数学期望.