Question

已知点，的坐标分别为，.直线，相交于点，且它们的斜率之积是，记动点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）设是曲线上的动点，直线，分别交直线于点，线段的中点为，求直线与直线的斜率之积的取值范围；

（3）在（2）的条件下，记直线与的交点为，试探究点与曲线的位置关系，并说明理由.

Answer

（1）()；（2）；（3）点在曲线上.

【解析】

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、点斜式求直线方程、中点坐标公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，设出P点坐标，利用斜率公式，求出直线AP、BP的斜率，计算得到曲线C的方程；第二问，设出Q点坐标，利用点斜式写出直线AQ的方程，它与x=4交于M，则联立得到M点坐标，同理得到N点坐标，利用中点坐标公式得到后，将Q点横坐标的范围代入直接得到所求范围；第三问，结合第二问得到直线AN和直线BM的方程，令2个方程联立，得到T点坐标，通过计算知T点坐标符合曲线C的方程，所以点T在曲线C上.

(1)设动点，则(且)

所以曲线的方程为(). 4分

（2）法一：设，则直线的方程为，令，则得，直线的方程为，

令，则得， 6分

∵ =

∴，∴ 8分

故

∵ ，∴，

∴，

∴，

∴直线与直线的斜率之积的取值范围为 10分

法二：设直线的斜率为，则由题可得直线的斜率为，

所以直线的方程为，令，则得，

直线的方程为，令，则得，

∴，

∴ 8分

故

∴直线与直线的斜率之积的取值范围为 10分

（3）法一：由（2）得，，

则直线的方程为，直线的方程为， 12分

由，解得即 12分

∴

∴ 点在曲线上. 14分

法二：由（2）得，

∴ ， 12分

∴

∴ 点在曲线上. 14分

法三：由（2）得，，，

∴ ， 12分

∴ ∴ 点在曲线上. 14分

考点：椭圆的标准方程、点斜式求直线方程、中点坐标公式.