Question

已知正项数列中，其前项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设是数列的前项和，是数列的前项和，求证：.

Answer

（1）；（2）证明过程详见解析.

【解析】

试题分析：本题主要考查等差数列的通项公式、前n项和公式、放缩放、累加法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力、转化能力.第一问，法一，利用转化已知表达式中的，证明数列为等差数列，通过，再求；法二，利用转化，证明数列为等差数列，直接得到的通项公式；第二问，要证，只需要证中每一项都小于中的每一项，利用放缩法，先得到，，只需证，通过放缩法、累加法证明不等式.

（1）法一：由得

当时，，且，故 1分

当时，，故，得，

∵正项数列，

∴ 4分

∴是首项为，公差为的等差数列.

∴ ，

∴ . 6分

法二：

当时，，且，故 1分

由得， 2分

当时，

∴ ，

整理得

∵正项数列，，

∴ ， 5分

∴是以为首项，为公差的等差数列，

∴ . 6分

（2）证明：先证： 7分

.

故只需证， 9分

因为[]2

所以 12分

所以

当取得到不等式，

相加得：

即： 14分

考点：等差数列的通项公式、前n项和公式、放缩放、累加法.