Question

已知函数，其中且.

（1）讨论的单调性；

(2) 若不等式恒成立，求实数取值范围；

（3）若方程存在两个异号实根，，求证：

Answer

（1）详见解析；（2）；（3）证明详见解析.

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断导数的单调性、利用导数求函数的单调性、利用导数求函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，先求函数的定义域，对求导，由于，所以讨论a的正负，利用的正负，判断函数的单调性；第二问，结合第一问的结论，当时举一反例证明不恒成立，当时，将恒成立转化为恒成立，令，利用导数求的最小值；第三问，要证，需证，令，利用函数的单调性，解出的大小.

(１)的定义域为.

其导数 2分

①当时,,函数在上是增函数;

②当时,在区间上,;在区间(0,+∞)上,．

所以,在是增函数,在(0,+∞)是减函数. 4分

(２)当时, 则取适当的数能使，比如取，

能使, 所以不合题意 6分

当时，令,则

问题化为求恒成立时的取值范围.

由于

在区间上,;在区间上,. 8分

的最小值为,所以只需

即,, 10分

(３)由于存在两个异号根，不仿设，因为,所以 11分

构造函数:()

所以函数在区间上为减函数. ,则,

于是,又,,由在上为减函数可知.即 14分

考点：导数的运算、利用导数判断导数的单调性、利用导数求函数的单调性、利用导数求函数的最值.