Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，O为AC与BD的交点，AB平面PAD，△PAD是正三角形，  

DC//AB，DA＝DC＝2AB.

（1）若点E为棱PA上一点，且OE∥平面PBC，求的值；

（2）求证：平面PBC平面PDC.

Answer

（1）详见解析;（2）详见解析．

【解析】

试题分析： （1）由题中所给条件，不难联想到要运用线面平行的性质定理将线面平行转化为线线平行，即由所以，再结合平面几何的知识易得：结合比例线段关系即可求得;（2）中要证明面面垂直，根据面面垂直的判定定理可转化为证明线面垂直，由题中的数量关系不难发现取的中点，连结，运用解三角形的知识算出，问题即可得证．

试题解析： （1）因为所以，

所以． 3分

因为，所以.

所以． 6分

（2）取的中点，连结．

因为是正三角形，，所以．

因为为的中点，所以. 8分

因为，所以．

因为，所以．

设，在等腰直角三角形中，．

在中，．

在直角梯形中，．

因为，点F为PC的中点，所以．

在中，．

在中，由，可知，所以．

12分

由，所以．

又，所以平面 14分

考点：1.线面平行的性质定理;2.面面垂直的判定定理;3.平面几何中的计算