Question

已知函数f(x)＝lnx－mx（mR）．

（1）若曲线y＝f(x)过点P(1，－1)，求曲线y＝f(x)在点P处的切线方程；

（2）求函数f(x)在区间[1，e]上的最大值；

（3）若函数f(x)有两个不同的零点x₁，x₂，求证：x₁x₂＞e²．

Answer

（1）;（2）①当时，；②当时，

③当时，;（3）详见解析．

【解析】

试题分析：（1）根据题意首先由点在曲线上，运用待定系数的方法求出，再由切线与导数的关系即可求出切线方程为;（2）对函数求导可得：，分析m对导数的影响，可见要进行分类讨论：①当时，，所以函数在上单调递增，利用单调性可求出最大值;②当，即时，，所以函数在上单调递增，利用单调性可求出最大值;③当，即时，导数有下有负，列表可求出函数的最大值;④当，即时，，所以函数在上单调递减，利用单调性可求出最大值;（3）显然两零点均为正数，故不妨设，由零点的定义可得：，即，观察此两式的结构特征可相加也可相减化简得：，现在我们要证明，即证明，也就是．又因为，所以即证明，即．由它的结构可令＝t，则，于是．构造一新函数，将问题转化为求此函数的最小值大于零，即可得证．

试题解析：（1）因为点在曲线上，所以，解得．

因为，所以切线的斜率为0，所以切线方程为． 3分

（2）因为．

①当时，，所以函数在上单调递增，则．

②当，即时，，所以函数在上单调递增，则 5分

③当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，

则． 7分

④当，即时，，所以函数在上单调递减，则 9分

综上，①当时，；

②当时，

③当时，． 10分

（3）不妨设．因为，所以，

可得．

要证明，即证明，也就是．

因为，所以即证明，即． 12分

令＝t，则，于是．

令，则．

故函数在上是增函数，所以，即成立．

所以原不等式成立． 16分

考点：1.曲线的切线;2.函数与导数的综合运用;3.函数的零点与方程的根