Question

已知a，b是不相等的正数，在a，b之间分别插入m个正数a₁，a₂， ，a_m和正数b₁，b₂， ，

b_m，使a，a₁，a₂， ，a_m，b是等差数列，a，b₁，b₂， ，b_m，b是等比数列．

（1）若m＝5，＝，求的值；

（2）若b＝λa(λ∈N^*，λ≥2)，如果存在n (n∈N^*，6≤n≤m)使得a_n－5＝b_n，求λ的最小值及此时m的值；

（3）求证：a_n＞b_n(n∈N*，n≤m)．

Answer

（1）;（2）最小值为4，此时为29;(3)详见解析

【解析】

试题分析：（1）根据题意m＝5时，共有7项，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，表示出，又由，可得到，解得;（2）由条件得，即，从而得，又由于，即，从而得，又题中有，可得， 化简消去a得：，观察此式结构特征：，则要求为有理数．即必须为有理数，而，可将用数字代入检验： 若，则为无理数，不满足条件; 同理，不满足条件; 当时，．要使为有理数，则必须为整数，要满足 ，可解得;(3)可假设，为数列的前项的和，我们易先证：若为递增数列，则为递增数列;同理可证，若为递减数列，则为递减数列;由于a和b的大小关系不确定，故要对其分类讨论：①当时，．当时，．即，即．因为，所以，即，即;②当时，同理可求得．

试题解析：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

则．

． 2分

因为，所以，解得． 4分

（2）因为，所以，从而得．

因为，所以，从而得．

因为，所以．

因为，所以（*）． 6分

因为，所以为有理数．

要使（*）成立，则必须为有理数．

因为，所以．

若，则为无理数，不满足条件．

同理，不满足条件． 8分

当时，．要使为有理数，则必须为整数．

又因为，所以仅有满足条件．

所以，从而解得．

综上，最小值为4，此时为29． 10分

(3)设，为数列的前项的和．

先证：若为递增数列，则为递增数列．

证明：当时，．

因为，所以，即数列为递增数列．

同理可证，若为递减数列，则为递减数列． 12分

①当时，．当时，．

即，即．

因为，

所以，即，即．

②当时，，当时，．

即．

因为，所以．以下同①．

综上，． 16分

考点：1.等差，等比数列的基本运算;2.函数的最值;3.代数式的处理