Question

某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A与圆

弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）

（1）设（弧度），将绿化带总长度表示为的函数；

（2）试确定的值，使得绿化带总长度最大．

Answer

（1），,（2）当时，绿化带总长度最大．

【解析】

试题分析：（1）解实际问题应用题，关键正确理解题意，正确列出等量关系或函数关系式.本题要注意着重号. 绿化带总长度等于2AC与弧长BC之和. 在直角三角形中，，，所以．由于，所以弧的长为．所以，作为函数解析式，必须明确其定义域，．（2）利用导数求最大值. 令，则，列表分析可知当时，取极大值，即为最大值．

【解】（1）如图，连接，设圆心为，连接．

在直角三角形中，，，

所以．

由于，所以弧的长为． 3分

所以，

即，． 7分

（2）， 9分

令，则， 11分

列表如下：

+

0

极大值

所以，当时，取极大值，即为最大值． 13分

答：当时，绿化带总长度最大． 14分

考点：运用数学知识解决实际问题