Question

已知函数在时取得极小值．

（1）求实数的值；

（2）是否存在区间，使得在该区间上的值域为？若存在，求出，的值；

若不存在，说明理由．

Answer

（1）,（2）满足条件的值只有一组，且．

【解析】

试题分析：（1）根据函数极值求参数，不要忘记列表检验.因为导数为零的点不一定是极值点. 因为，所以由题意，解得或．当时，在上为减函数，在上为增函数，符合题意；当时，在上为增函数，在，上为减函数，不符合题意．（2）由值域范围确定解析式中参数范围，是函数中难点.主要用到分类讨论的思想方法.首先因为，所以．① 若，则，因为，所以．设，则，所以在上为增函数．由于，即方程有唯一解为．② 若，则，即或．

（Ⅰ）时，，由①可知不存在满足条件的．（Ⅱ）时，，两式相除得．设，则，在递增，在递减，由得，，此时，矛盾．

【解】（1），

由题意知，解得或． 2分

当时，，

易知在上为减函数，在上为增函数，符合题意；

当时，，

易知在上为增函数，在，上为减函数，不符合题意．

所以，满足条件的． 5分

（2）因为，所以． 7分

① 若，则，因为，所以． 9分

设，则，

所以在上为增函数．

由于，即方程有唯一解为． 11分

② 若，则，即或．

（Ⅰ）时，，

由①可知不存在满足条件的． 13分

（Ⅱ）时，，两式相除得．

设，

则，

在递增，在递减，由得，，

此时，矛盾．

综上所述，满足条件的值只有一组，且． 16分

考点：导数在研究函数上的应用