Question

在平面直角坐标系中，已知定点F（1，0），点在轴上运动，点在轴上，点

为平面内的动点，且满足，．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）设点是直线：上任意一点，过点作轨迹的两条切线，，切点分别为，，设切线，的斜率分别为，，直线的斜率为，求证：．

Answer

（1），（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）求动点轨迹方程，分四步。第一步，设所求动点坐标，设点，，．第二步，建立等量关系，由可知，点是的中点，所以即所以点，．所以，．由，可得，第三步，化简等量关系，即．第四步，去杂或确定取值范围，本题就是（2）证明三直线斜率关系，实质研究其坐标关系. 设点，则过点的直线，联立方程，整理得．则，化简得．所以．又，故．

【解】（1）设点，，．

由可知，点是的中点，

所以即所以点，．

所以，． 3分

由，可得，即．

所以动点的轨迹的方程为． 5分

（2）设点，

由于过点的直线与轨迹：相切，

联立方程，整理得． 7分

则，

化简得．

显然，，是关于的方程的两个根，所以．

又，故．

所以命题得证． 10分

考点：轨迹问题的求解方法、直线和抛物线方程的位置关系