Question

各项均为正数的数列对一切均满足．证明：

（1）；

（2）．

Answer

（1）详见解析，（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）作差证明不等式，因为，，所以，且．

因此．即.（2）本题证明：用数学归纳法，而证明用反证法. ① 当时，由题设可知成立；② 假设时，，

当时，由（1）得，．由①，②可得，．假设存在自然数，使得，则一定存在自然数，使得．因为，，， ，，与题设矛盾，所以，．若，则，根据上述证明可知存在矛盾．

【证明】（1）因为，，与题设矛盾，所以，．若，则，根据上述证明可知存在矛盾．

所以，

所以，且．

因为．

所以，

所以，即． 4分

（注：用反证法证明参照给分）

（2）下面用数学归纳法证明：．

① 当时，由题设可知结论成立；

② 假设时，，

当时，由（1）得，．

由①，②可得，． 7分

下面先证明．

假设存在自然数，使得，则一定存在自然数，使得．

因为，，

， ，，

与题设矛盾，所以，．

若，则，根据上述证明可知存在矛盾．

所以成立． 10分

考点：数学归纳法