Question

在平面直角坐标系xOy中，设曲线C₁：所围成的封闭图形的面积为

，曲线C₁上的点到原点O的最短距离为．以曲线C₁与坐标轴的交点为顶点的椭圆记

为C₂．

（1）求椭圆C₂的标准方程；

（2）设AB是过椭圆C₂中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．M是l上的点（与O不重合）．

①若MO＝2OA，当点A在椭圆C₂上运动时，求点M的轨迹方程；

②若M是l与椭圆C₂的交点，求△AMB的面积的最小值．

Answer

（1）;（2）①;②．

【解析】

试题分析：（1）对于曲线C1：的处理，关键问题是两个绝对值的处理，根据x,y的特点，不难发现与坐标系中的四个象限有关，进而即可得到，即可得出椭圆方程; （2）①由l是线段AB的垂直平分线，可转化为：，又由MO＝2OA，可转化得到：，这样的好处是两条件均转化为向量了，设出点M和点A的坐标即可得到关系：解出再利用点M在所求椭圆上即可求出：;②中要求△AMB的面积的最小值，根据此地三角形的特点，不难想到直线AB的设出，根据斜率是否存在，可先考虑两种特殊情况：一种不存在;另一种为0，再考虑一般情形，运用方程组思想即可得：和，进而表示出面积：，最后结合不等式知识即可求出最小值．

试题解析：（1）由题意得 又，解得，．

因此所求椭圆的标准方程为． 4分

（2）①设，，则由题设知：，．

即 解得 8分

因为点在椭圆C2上，所以，

即，亦即．

所以点M的轨迹方程为． 10分

②假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y＝kx(k≠0)．

解方程组 得，，

所以，.

又 解得，，所以． 12分

由于

，

当且仅当时等号成立，即k＝±1时等号成立，

此时△AMB面积的最小值是S△AMB＝． 15分

当k＝0，S△AMB；

当k不存在时，S△AMB．

综上所述，△AMB面积的最小值为． 16分

考点：1.椭圆方程;2.直线与椭圆的位置关系;3.基本不等式