Question

设数列{a_n}的首项不为零，前n项和为S_n，且对任意的r，tN^*，都有．

（1）求数列{a_n}的通项公式（用a₁表示）；

（2）设a₁=1，b₁=3，，求证：数列为等比数列；

（3）在（2）的条件下，求．

Answer

（1）;（2）详见解析;（3）．

【解析】

试题分析：（1）根据题中所给数列递推关系的特征：，有且只有前n项和的比值，而题中又要求以a1表示，即可想到令，，得到，这样问题即可转化为由求的问题，注意要分三步啊; （2）由（1）中所求的表达式，并已知a1=1，即可确定出的通项公式和前n项和公式，再运用条件，不难求出关系：，结合所证数列的特征和等比数列的定义，可得，即可得证; （3）由在（2）的条件下，即可得出的通项公式：化简得，观察其特点和所求目标，不难想到求出：，运用代数知识化简得：，这样就可联想到数列求和中的裂项相消的方法，可得：．

试题解析：（1）因为，令，，则，得，即． 2分

当时，，且当时，此式也成立．

故数列{an}的通项公式为． 5分

（2）当时，由（1）知，Sn＝n2．

依题意，时，， 7分

于是，且，

故数列是首项为1，公比为2的等比数列． 10分

（3）由（2）得，所以． 12分

于是． 15分

所以． 16分

考点：1.递推关系的处理;2.等比数列的定义;3.数列求和的应用