Question

设函数，其图象与轴交于，两点，且x₁＜x₂．

（1）求的取值范围；

（2）证明：（为函数的导函数）；

（3）设点C在函数的图象上，且△ABC为等腰直角三角形，记，求

的值．

Answer

（1）;（2）详见解析;（3）

【解析】

试题分析：（1）根据题意图象与轴交于，两点，由零点的定义可得：函数的图象要与x轴有两个交点，而此函数的特征不难发现要对它进行求导，运用导数与函数的关系进行求函数的性质，即：，a的正负就决定着导数的取值情况，故要对a进行分类讨论：分和两种情况，其中显然不成立，时转化为函数的最小值小于零，即可求出a的范围; （2）由图象与轴交于，两点，结合零点的定义可得：整理可得：，观察其结构特征，可想到整体思想，即：，目标为：，运用整体代入化简可得：，转化为对函数进行研究，运用导数知识不难得到，即：，故而是单调增函数，由不等式知：，问题可得证; （3）由题意有，化简得，而在等腰三角形ABC中，显然只有C = 90°，这样可得，即，结合直角三角形斜边的中线性质，可知，所以，即，运用代数式知识处理可得： ，而，所以，即，所求得

试题解析：（1）．

若，则，则函数是单调增函数，这与题设矛盾． 2分

所以，令，则．

当时，，是单调减函数；时，，是单调增函数；

于是当时，取得极小值． 4分

因为函数的图象与轴交于两点，(x1＜x2)，

所以，即

此时，存在；

存在，

又由在及上的单调性及曲线在R上不间断，可知为所求取值范围. 6分

（2）因为 两式相减得

记，则， 8分

设，则，所以是单调减函数，

则有，而，所以．

又是单调增函数，且

所以． 11分

（3）依题意有，则．

于是，在等腰三角形ABC中，显然C = 90°， 13分

所以，即，

由直角三角形斜边的中线性质，可知，

所以，即，

所以，

即．

因为，则，

又，所以， 15分

即，所以 16分

考点：1.函数的图象性质;2.导数在函数中的运用;3.函数与不等式的综全运用