Question

在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，，点E是棱AB上一点．且．

（1）证明：；

（2）若二面角D₁—EC—D的大小为，求的值．

Answer

（1）详见解析;（2）－1．

【解析】

试题分析：（1）根据题意显然以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系．此时不妨设AD =AA1＝1，AB＝2，则本表示出图中各点坐标，这里主要是要运用向量的知识表示出点E的坐标，这样就可表示出和的坐标，利用向量垂直的充要条件：它们的数量积等于0，问题即可得证;（2）运用求平面法向量的知识分别求出：平面DEC的法向量为n1＝(0，0，1);平面D1CE的法向量为，利用向量夹角知识可得： ，可解得±－1．利用E是棱AB上的一点，所以λ＞0，故所求的λ值为－1．

试题解析：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，

DD1为z轴建立空间直角坐标系．

不妨设AD =AA1＝1，AB＝2，

则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，

C(0，2，0)，A1(1，0，1)，B1(1，2，1)，C1(0，2，1)，D1(0，0，1)．

因为＝λ，所以，于是(－1，0，－1)．

所以．

故D1EA1D． 5分

（2）因为D1D⊥平面ABCD，所以平面DEC的法向量为n1＝(0，0，1)．

又，(0，－2，1)．

设平面D1CE的法向量为n2＝(x，y，z)，

则n2·，n2·，

所以向量n2的一个解为．

因为二面角D1—EC—D的大小为，则．

解得±－1．

又因E是棱AB上的一点，所以λ＞0，故所求的λ值为－1． 10分

考点：1.向量的数量积的应用;2.平面的法向量;3.空位位置关系