Question

如图，已知，，，分别是椭圆的四个顶点，△是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆．

（1）求椭圆及圆的方程；

（2）若点是圆劣弧上一动点（点异于端点，），直线分别交线段，椭圆于点，，直线与交于点．

（ⅰ）求的最大值；

（ⅱ）试问：..，两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

Answer

（1），，（2）（ⅰ），（ⅱ）.

【解析】

试题分析：（1）求椭圆标准方程，只需两个独立条件. 由题意知，，，所以，，所以椭圆的方程为，求圆的方程，有两个选择，一是求圆的标准方程，确定圆心与半径，二是求圆的一般方程，只需代入圆上三个点的坐标.本题两个方法皆简单，如易得圆心，，所以圆的方程为

（2）（ⅰ）本题关键分析出比值暗示的解题方向，由于点在轴上，所以，因此解题方向为利用斜率分别表示出点与点的横坐标. 设直线的方程为，与直线的方程联立，解得点，联立，消去并整理得，，解得点,因此当且仅当时，取“=”， 所以的最大值为．（ⅱ）求出点的横坐标，分析与点的横坐标的和是否为常数. 直线..的方程为，与直线的方程联立，解得点，所以、两点的横坐标之和为．

试题解析：（1）由题意知，，，

所以，，所以椭圆的方程为， 2分

易得圆心，，所以圆的方程为． 4分

（2）解：设直线的方程为，

与直线的方程联立，解得点， 6分

联立，消去并整理得，，解得点，

9分

（ⅰ），当且仅当时，取“=”，

所以的最大值为． 12分

（ⅱ）直线的方程为，

与直线的方程联立，解得点， 14分

所以、两点的横坐标之和为．

故、两点的横坐标之和为定值，该定值为． 16分

考点：椭圆与圆标准方程，直线与椭圆位置关系