Question

已知函数．

（1）当时，求函数的单调增区间；

（2）当时，求函数在区间上的最小值；

（3）记函数图象为曲线，设点，是曲线上不同的两点，点为线段的中点，过点作轴的垂线交曲线于点．试问：曲线在点处的切线是否平行于直线？并说明理由．

Answer

（1），（2）（3）不平行

【解析】

试题分析：（1）利用导数求函数单调区间，分四步：第一步，求定义域，，第二步，求导，，关键在因式分解，目的解不等式. 第三步解不等式由，得，第四步，写结论，的单调增区间为．（2）求函数最值，其实质还是研究其单调性. 当时，由，得，，①当>1，即时，在上是减函数，所以在上的最小值为．②当，即时，在上是减函数，在上是增函数，所以的最小值为．③当，即时，在上是增函数，所以的最小值为．（3）是否平行，还是从假设平行出发，探究等量关系是否成立. 设，则点N的横坐标为，直线AB的斜率=，曲线C在点N处的切线斜率,由得，不妨设，，则，下面研究函数是否有大于1的解.易由函数单调性得方程无解.

试题解析：（1）， 2分

因为，，所以，解，得，

所以的单调增区间为． 4分

（2）当时，由，得，，

①当>1，即时，在上是减函数，

所以在上的最小值为． 6分

②当，即时，

在上是减函数，在上是增函数，

所以的最小值为． 8分

③当，即时，在上是增函数，

所以的最小值为．

综上，函数在区间上的最小值

10分

（3）设，则点N的横坐标为，

直线AB的斜率

=，

曲线C在点N处的切线斜率

，

假设曲线C在点N处的切线平行于直线AB，则，

即， 13分

所以，不妨设，，则，

令，，

所以在上是增函数，又，所以，即不成立，

所以曲线C在点N处的切线不平行于直线AB． 16分

考点：利用导数求单调区间，利用导数求最值，利用导数研究方程是否有解