Question

在数列中，已知，，(，)．

（1）当，时，分别求的值，判断是否为定值，并给出证明；

（2）求出所有的正整数，使得为完全平方数．

Answer

（1）()．（2）当时，满足条件.

【解析】

试题分析：（1）第一步是归纳，分别进行计算. 由已知得，．所以时，；当时，．第二步猜想，()．第三步证明，本题可用数学归纳法证，也可证等式恒成立，（2）探求整数解问题，一般要构造一个可说明的整式. 设，则，又，且501=1501=3167，故 或所以 或

由解得；由得无整数解．所以当时，满足条件．

试题解析：（1）由已知得，．

所以时，；当时，． 2分

猜想：()． 3分

下面用数学归纳法证明：

①当时，结论成立．

②假设当时，结论成立，即，

将代入上式，可得．

则当时，

．

故当结论成立，

根据①,②可得，()成立． 5分

（2）将代入，得，

则，，

设，则，

即， 7分

又，且501=1501=3167，

故 或

所以 或

由解得；由得无整数解．

所以当时，满足条件． 10分

考点：数学归纳法