Question

在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆E：的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、．设直线的倾斜角的正弦值为，圆与以线段为直径的圆关于直线对称．

（1）求椭圆E的离心率；

（2）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；

（3）若圆的面积为，求圆的方程．

Answer

（1），（2）相切，（3）.

【解析】

试题分析：（1）求椭圆E的离心率，只需列出关于的一个等量关系就可解出. 因为直线的倾斜角的正弦值为，所以，即，（2）判断直线与圆的位置关系，通常利用圆心到直线距离与半径大小比较. 因为直线的倾斜角的正弦值为，所以直线的斜率为于是的方程为：，因此中点到直线距离为所以直线与圆相切,又圆与以线段为直径的圆关于直线对称，直线与圆相切．（3）由圆的面积为知圆半径为1，所以设关于直线：的对称点为，则解得．所以，圆的方程为．

【解】（1）设椭圆E的焦距为2c（c>0），

因为直线的倾斜角的正弦值为，所以，

于是，即，所以椭圆E的离心率

（2）由可设，，则，

于是的方程为：，

故的中点到的距离， 又以为直径的圆的半径，即有，

所以直线与圆相切．

（3）由圆的面积为知圆半径为1，从而，

设的中点关于直线：的对称点为，

则

解得．所以，圆的方程为．

考点：椭圆离心率，直线与圆位置关系，点关于直线对称点