Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，E是PB上任意一点，△AEC面积的最小值是3．

（1）求证：AC⊥DE；

（2）求四棱锥P－ABCD的体积．

Answer

（1）详见解析，（2）.

【解析】

试题分析：（1）证明线线垂直，一般利用线面垂直性质与判定定理进行转化. 因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．又因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC．因而AC⊥平面PDB，从而AC⊥DE．（2）设AC与BD相交于点F．连EF．由（1），知AC⊥平面PDB，所以AC⊥EF．所以S△ACE＝AC·EF，因此△ACE面积最小时，EF最小，则EF⊥PB．由△PDB∽△FEB，解得PD＝，因为PD⊥平面ABCD，所以VP—ABCD＝S□ABCD·PD＝×24×＝．

（1）证明：连接BD，设AC与BD相交于点F．

因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．

又因为PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以PD⊥AC．

而AC∩BD＝F，所以AC⊥平面PDB．

E为PB上任意一点，DE平面PBD，所以AC⊥DE．

（2）连EF．由（1），知AC⊥平面PDB，EF平面PBD，所以AC⊥EF． S△ACE＝AC·EF，在△ACE面积最小时，EF最小，则EF⊥PB．

S△ACE＝3，×6×EF＝3，解得EF＝1．

由△PDB∽△FEB，得．由于EF＝1，FB＝4，，

所以PB＝4PD，即．解得PD＝

VP—ABCD＝S□ABCD·PD＝×24×＝．

考点：线面垂直性质与判定定理，四棱锥体积