Question

一个如图所示的不规则形铁片，其缺口边界是口宽4分米，深2分米（顶点至两端点所在直线的距离）的抛物线形的一部分，现要将其缺口边界裁剪为等腰梯形．

（1）若保持其缺口宽度不变，求裁剪后梯形缺口面积的最小值；

（2）若保持其缺口深度不变，求裁剪后梯形缺口面积的最小值．

Answer

（1）6，（2）.

【解析】

试题分析：（1）由题意得：保持其缺口宽度不变，需在A,B点处分别作抛物线的切线. 以抛物线顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，则，从而边界曲线的方程为，．因为抛物线在点处的切线斜率，所以，切线方程为，与轴的交点为．此时梯形的面积平方分米，即为所求．（2）若保持其缺口深度不变，需使两腰分别为抛物线的切线. 设梯形腰所在直线与抛物线切于时面积最小．此时，切线方程为，其与直线相交于，与轴相交于．此时，梯形的面积，．故，当时，面积有最小值为．

【解析】
（1）以抛物线顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，则，

从而边界曲线的方程为，．

因为抛物线在点处的切线斜率，

所以，切线方程为，与轴的交点为．

此时梯形的面积平方分米，即为所求．

（2）设梯形腰所在直线与抛物线切于时面积最小．

此时，切线方程为，

其与直线相交于，

与轴相交于．

此时，梯形的面积，．……11分

（这儿也可以用基本不等式，但是必须交代等号成立的条件）

=0，得，

当时，单调递减；

当时，单调递增，

故，当时，面积有最小值为．

考点：利用导数研究函数最值