Question

如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形， ，，，且平面平面．

(1)求与平面所成角的正弦值；

(2)线段上是否存在点，使平面平面？

证明你的结论．

Answer

(1) ， (2)详见解析.

【解析】

试题分析：(1)利用空间向量求线面角，关键求出面的一个法向量. 先由面面垂直得到线面垂直，即由平面面， 得平面．建立空间直角坐标系，表示各点坐标，得 ，设平面的法向量为，则有所以 取，得．根据与平面所成的角正弦值等于与平面法向量夹角余弦值的绝对值，得到与平面所成角的正弦值为． (2) 假设线段上存在点，设 ，可求出平面的一个法向量．要使平面平面，只需，即 ，此方程无解，所以线段上不存在点，使平面平面．

(1)因为，，

在△中，由余弦定理可得 ，

所以 ． 又因为

平面面， 所以平面．

所以两两互相垂直，

如图建立空间直角坐标系．

设，所以．

所以 ，，．

设平面的法向量为，则有

所以 取，得．

设与平面所成的角为，则 ，

所以 与平面所成角的正弦值为．

(2)线段上不存在点，使平面平面．证明如下：

假设线段上存在点，设 ，所以．

设平面的法向量为，则有

所以 取 ，得．

要使平面平面，只需，即 ，

此方程无解，所以线段上不存在点，使平面平面．

考点：利用空间向量求线面角