Question

已知函数（，是实数常数）的图像上的一个最高点，与该最高点最近的一个最低点是，

(1)求函数的解析式及其单调增区间；

(2)在锐角三角形△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，且，角A的取值范围是区间M，当时，试求函数的取值范围.

Answer

（1），单调递增区间是；（2）.

【解析】

试题分析：

（1）本题考查五点法作函数的图象，最高点到最低点之间横坐标之差为半个周期，函数式可先化简为，再根据其性质，可列出关于的方程，得出结论；（2）利用向量数量积的定义，可求得，这时要注意向量与的夹角是，不是，再利用锐角三角形的定义可求出的取值范围，即，此时只要求得的范围，就可借助于正弦函数的性质求得的取值范围.

(1)∵，

∴.

∵和分别是函数图像上相邻的最高点和最低点，

∴解得

∴.

由，解得.

∴函数的单调递增区间是.

(2)∵在中，，

∴.

∴，即.

∴.

当时，，考察正弦函数的图像，可知，.

∴，即函数的取值范围是.

考点：（1）五点法作函数的图象；（2）数量积，三角函数的值域.