Question

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥CD，PA=AD，M，Q分别是PD，BC的中点．

（1）求证：MQ∥平面PAB；

（2）若AN⊥PC，垂足为N，求证：MN⊥PD．

Answer

证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）取PA的中点E，连结EM、BE，根据三角形的中位线定理证出ME∥AD且ME=AD，平行四边形中Q是BC的中点，可得BQ∥AD且BQ=AD，因此四边形MQBE是平行四边形，可得MQ∥BE，再结合线面平行的判定定理可得MQ∥平面PAB；

（2）由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥CD，结合AC⊥CD可得CD⊥平面PAC，从而有AN⊥CD．又因为AN⊥PC，结合PC、CD是平面PCD内的相交直线，可得AN⊥平面PCD，从而得到AN⊥PD．等腰△PAD中利用“三线合一”，证出AM⊥PD，结合AM、AN是平面AMN内的相交直线，得到PD⊥平面AMN，从而得到MN⊥PD．

（1）取PA的中点E，连结EM、BE，

∵M是PD的中点，∴ME∥AD且ME=AD，

又∵Q是BC中点，∴BQ=BC，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC∥AD且BC=AD，可得BQ∥ME且BQ=ME，

∴四边形MQBE是平行四边形，可得MQ∥BE， （4分）

∵BE⊂平面PAB，MQ⊄平面PAB，

∴MQ∥平面PAB； （6分）

（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，

又∵AC⊥CD，PA、AC是平面PAC内的相交直线，

∴CD⊥平面PAC，结合AN⊂平面PAC，得AN⊥CD． （9分）

又∵AN⊥PC，PC、CD是平面PCD内的相交直线，

∴AN⊥平面PCD，结合PD⊂平面PCD，可得AN⊥PD， （12分）

∵PA=AD，M是PD的中点，∴AM⊥PD， （13分）

又∵AM、AN是平面AMN内的相交直线，∴PD⊥平面AMN，

∵MN⊂平面AMN，∴MN⊥PD． （14分）

考点：直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的性质．