Question

如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB的长为4.5km，且跑道所在的直线与海岸线l的夹角为60^o(海岸线可以看作是直线)，跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸线的距离BC＝4km．D为海湾一侧海岸线CT上的一点，设CD＝x(km)，点D对跑道AB的视角为 ．

（1）将tan 表示为x的函数；

（2）求点D的位置，使 取得最大值．

Answer

（1）；（2）点距点6km.

【解析】

试题分析：（1）由图可知，因此为了求，可通过求和，，下面关键要求，为止作，垂足为，这时会发现随的取值不同，点可能在线段上，也可能在线段外，可能为锐角也可能为钝角，这里出现了分类讨论，作交延长线于，由已知可求出，这就是分类的分界点；（2）由（1）求得，要求它的最大值，可以采取两种方法，一种是由于分子是一次，分母是二次的，可把分子作为整体，分子分母同时除以（当然分母也已经化为的多项式了），再用基本不等式求解，也可用导数知识求得最大值.

（1）过A分别作直线CD，BC的垂线，垂足分别为E，F．

由题知，AB＝4.5，BC＝4，∠ABF＝90o－60o＝30o，

所以CE＝AF＝4.5×sin30o＝，BF＝4.5×cos30o＝，

AE＝CF＝BC＋BF＝．

因为CD＝x(x＞0)，所以tan∠BDC＝＝．

当x＞时，ED＝x－，tan∠ADC＝＝＝（如图1）；

当0＜x＜时，ED＝－x，tan∠ADC＝－＝（如图2）． 4分

所以tan＝tan∠ADB＝tan(∠ADC－∠BDC)＝

＝＝，其中x＞0且x≠．

当x＝时tan＝＝，符合上式．

所以tan＝( x＞0) 8分

（2）（方法一）tan＝＝＝，x＞0． 11分

因为4(x＋4)＋－41≥2－41＝39，

当且仅当4(x＋4)＝，即x＝6时取等号．

所以当x＝6时，4(x＋4)＋－41取最小值39．

所以当x＝6时，tan 取最大值． 13分

由于y＝tanx在区间(0，）上是增函数，所以当x＝6时， 取最大值．

答：在海湾一侧的海岸线CT上距C点6km处的D点处观看飞机跑道的视角最大 14分

（方法二）tan ＝f(x)＝＝．

f (x)＝＝－，x＞0．

由f (x)＝0得x＝6． 11分

当x∈（0，6）时，f (x)＞0，函数f(x)单调递增；当x∈（6，＋∞）时，f (x)＜0，此时函数f(x)单调递减．

所以函数f(x)在x＝6时取得极大值，也是最大值f(6)＝． 13分

由于y＝tanx在区间(0，）上是增函数，所以当x＝6时， 取最大值．

答：在海湾一侧的海岸线CT上距C点6km处的D点处观看飞机跑道的视角最大． 14分

考点：（1）两角差的正切公式；（2）函数的最值问题.