Question

已知椭圆的左右焦点分别为,短轴两个端点为,且四边形是边长为2的正方形.

(1)求椭圆的方程;

(2)若分别是椭圆长轴的左右端点,动点满足,连接,交椭圆于点.证明:为定值;

(3)在(2)的条件下,试问轴上是否存在异于点的定点,使得以为直径的圆恒过直线的交点,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.

Answer

(1) ；（2）证明见解析；（3）存在，.

【解析】

试题分析：（1）由椭圆的几何性质知，，结合可很快求得，这样就得出了椭圆的标准方程；（2）若，，则，因此我们要把用表示出来，先用把直线方程写出，然后与椭圆方程联立解方程组可得（注意消去得关于的二次方程，这个二次方程有一个解是，另一解是，这样很容易得到，于是有）；（3）这是存在性命题，总是假设点存在，设，由题意则应该有，即，而点的坐标在（2）中已经用表示出来了，因此利用若能求出，则说明符合题意的点存在，否则就不存在．

(1),,椭圆方程为 4分

(2),设,则.

直线:,即,

代入椭圆得

,.

,

(定值). 10分

(3)设存在满足条件,则.

,,

则由得 ,从而得.

存在满足条件 16分

考点：（1）椭圆标准方程；（2）解析几何中的定值问题；（3）解析几何中的存在性命题．