Question

已知（）是曲线上的点，，是数列的前项和，且满足，，  ．

（1）证明：数列（）是常数数列；

（2）确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列；

（3）证明：当时，弦（）的斜率随单调递增

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）由已知有，即，而数列中，因此已知式变为，这是的递推式，我们可以用代换其中的得，两式相减，可把转化为的递推式，出现了数列相邻项的和时，同样再把这个式子中的用代换，得，两式相减，得，代入可证得为常数；（2）由（1）说明数列的奇数项，偶数项分别成等差数列且公差为6，因此要使数列为递增数列，只要有即可，解这个不等式可得的范围；（3），本题就是要证明，考虑到数列是递增数列，函数是增函数，因此只要证，即证

，这就是，从的图象上可算出这个结论是正确的，从数上看，取为常数，，我们要证明函数为增函数，这用导数的知识可证．

（1）当时，由已知得，

因为，所以. ①

于是， ②

由②－①得， ③

于是， ④

由④－③得. ⑤

所以，即数列是常数数列.

（2）由①有，所以.由③有，所以.而⑤表明数列和分别是以为首项，6为公差的等差数列，

所以，

数列是单调递增数列，且对任意的成立，

且

.

即所求取值集合为.

（3）解法一：弦的斜率为，

任取，设函数，则，

记，则，

当时，，在上为增函数，

当时，，在上为减函数，

所以时，，从而，所以在和上都是增函数.

由（2）知时，数列单调递增，

取，因为，所以，

取，因为，所以，

所以，即弦的斜率随单调递增.

解法二：设函数，同解法一得，在和上都是增函数，

所以，，

故，即弦的斜率随单调递增.

考点：（1）数列的通项与性质；（2）递增数列与参数取值范围；（3）数列与导数、解析几何的综合.