Question

如果函数的定义域为R，对于定义域内的任意，存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”。

(1)判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，求出所有的值；若不具有“性质”，说明理由；

(2)已知具有“性质”，且当时，求在上有最大值；

(3)设函数具有“性质”，且当时，.若与交点个数为2013，求的值.

Answer

(1) ，(2) 当时，，当时，， (3) .

【解析】

试题分析：(1)新定义问题，必须从定义出发,实际是对定义条件的直译. 由得 ，(2)由 性质知函数为偶函数. ∴当时，∵在单调增，∴时，，当时，∵在单调减，在上单调增，又，∴时， ，当时，∵在单调减，在上单调增，又，∴时，. (3) ∵函数具有“性质” ∴∴∴函数是以2为周期的函数. 当时，为偶函数，因此易得函数是以1为周期的函数.结合图像得: ①当时，要使得与有2013个交点，只要与在区间有2012个交点，而在内有一个交点∴过，从而得,②当时，同理可得,③当时，不合题意, 综上所述.

(1)由得

∴

∴函数具有“性质”，其中 2分

(2) ∵具有“性质”

∴

设，则，∴

∴ 4分

当时，∵在单调增，∴时， 5分

当时，∵在单调减，在上单调增

又，∴时， 6分

当时，∵在单调减，在上单调增

又，∴时， 7分

综上得当时，，当时， 8分

(3) ∵函数具有“性质”

∴

∴，

∴函数是以2为周期的函数 9分

设，则，

再设

当，则

当，则

∴对于，都有

而

∴

∴函数是以1为周期的函数 12分

①当时，要使得与有2013个交点，只要与在区间有2012个交点，而在内有一个交点

∴过，从而得 14分

②当时，同理可得

③当时，不合题意

综上所述 16分

考点：函数奇偶性，函数周期，函数图像