Question

某小区想利用一矩形空地建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中，，且中，，经测量得到．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点作一直线交于，从而得到五边形的市民健身广场，设．

（1）将五边形的面积表示为的函数；

（2）当为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．

Answer

（1）（）；（2）时，最大面积为.

【解析】

试题分析：（1）要求五边形的面积，可先求的面积，为此要求出（因为），作，垂足为，则，又，因此利用相似形的性质可得，这样可得，于是；（2）对要求最大值，可把作为一个整体进行变形，即，可以应用基本不等式求得最值，要注意等号成立的条件.

（1）作GH⊥EF，垂足为H，

因为，所以，因为

所以，所以 2分

过作交于T，

则，

所以

7分

由于与重合时，适合条件，故, 8分

（2）， 10分

所以当且仅当，即时，取得最大值2000， 13分

所以当时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为． 14分

考点：（1）相似形与多边形的面积；（2）函数的最值问题.