Question

（1）已知，求证：；

（2）已知，且，

求证：．

Answer

证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）本题证明只要利用作差法即可证得；（2）这个不等式比较复杂，考虑到不等式的形式，我们可用数学归纳法证明，关键在时的命题如何应用时的结论，中要把两个括号合并成一个，又能应用时的结论证明时的结论，当时，结论已经成立，当时，在中可找到一个，不妨设为，使，即，从而有

，这样代入进去可证得时结论成立.

（1）因为，所以，即； 2分

（2）证法一（数学归纳法）：（ⅰ）当时，，不等式成立． 4分

（ⅱ）假设时不等式成立，即成立. 5分

则时，若，则命题成立；若，则中必存在一个数小于1，不妨设这个数为，从而，即．同理可得，

所以

故时，不等式也成立． 9分

由（ⅰ）（ⅱ）及数学归纳法原理知原不等式成立. 10分

证法二：（恒等展开）左右展开，得

由平均值不等式，得

8分

故

． 10分

考点：（1）比较法证不等式；（2）数学归纳法证不等式.