Question

已知椭圆的右准线，离心率，，是椭圆上的两动点，动点满足，（其中为常数）．

（1）求椭圆标准方程；

（2）当且直线与斜率均存在时，求的最小值；

（3）若是线段的中点，且，问是否存在常数和平面内两定点，，使得动点满足，若存在,求出的值和定点，;若不存在，请说明理由．

Answer

（1）;（2）;（3）,

【解析】

试题分析：（1）根据题意由已知可得：，进而求出基本量，得到椭圆方程; ;（2）由题中，可得中点与原点的斜率即为,即可化简得：，结合基本不等式求最值，即由得;（3）由（2）中已求出，即，可化简得：，再结合条件，代入化简可得： ，最后由点在椭圆上可得： ，即，化简即P点是椭圆上的点，利用椭圆知识求出左、右焦点为．

（I）由题设可知：∴．又，∴．

椭圆标准方程为． 5分

（2）设则由得．

∴ ．

由得当且仅当时取等号 10分

（3）．

∴．∴． 11分

设，则由得 ，

即 y2. 因为点A、B在椭圆上，

所以 ．

所以. 即，所以P点是椭圆上的点，

设该椭圆的左、右焦点为，，则由椭圆的定义得18，, 16分

考点：1.椭圆的基本量计算;2.直线与椭圆的位置关系;3.函数的最值