Question

一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，其中O为圆心，在半圆上），设，木梁的体积为V（单位：m³），表面积为S（单位：m²）．

（1）求V关于θ的函数表达式；

（2）求的值，使体积V最大；

（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．

Answer

（1），（2），（3）当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大．

【解析】

试题分析：（1）解答实际问题关键读懂题意.本题所求体积为直四棱柱体积，体积为高与底面积的乘积.高为圆木的长，底面积为梯形的面积.利用角表示出梯形上下底及高，就可得到所求关系式. （2）先求出函数的导数，再根据导数为零时，定义区间导数值的正负讨论其单调性，研究其图像变化规律，确定其极值、最值.本题函数先增后减，在时，取极大值，也是最大值.（3）本题实质是求表面积的最大值，并判断取最大值时是否成立.首先先建立表面积的函数关系式.表面积由两部分组成，一是底面积，二是侧面积. 底面积为梯形的面积，有两个. 侧面积为梯形周长与圆木的长的乘积.再利用导数求出其最大值及取最大值时角的取值.

试题解析：（1）梯形的面积

=，． 2分

体积． 3分

（2）．

令，得，或（舍）．

∵，∴． 5分

当时，，为增函数；

当时，，为减函数． 7分

∴当时，体积V最大． 8分

（3）木梁的侧面积=，．

=，． 10分

设，．∵，

∴当，即时，最大． 12分

又由（2）知时，取得最大值，

所以时，木梁的表面积S最大． 13分

综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大． 14分

考点：利用导数求函数最值