Question

如图，在三棱柱中，侧面为菱形， 且，，是的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）求证：∥平面．

Answer

（1）详见解析，（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）证明面面垂直，关键找出线面垂直.因为侧面为菱形， 且,所以△为正三角形，因而有.又，是的中点，所以有，这样就可得到平面，进而可证平面平面.（2）证明线面平行，关键找出线线平行. 条件“是的中点”,提示找中位线.取中点，就可得∥，利用线面平行判断定理即可.解决此类问题，需注意写全定理成立的所有条件，不可省略.

试题解析：（1）证明：∵ 为菱形，且，

∴△为正三角形． 2分

是的中点，∴．

∵，是的中点，∴ ． 4分

，∴平面． 6分

∵平面，∴平面平面． 8分

（2）证明：连结，设，连结．

∵三棱柱的侧面是平行四边形，∴为中点． 10分

在△中，又∵是的中点，∴∥．12分

∵平面，平面，∴ ∥平面． 14分

考点：面面垂直判定定理，线面平行判定定理