Question

如图，在平面直角坐标系中，已知，，是椭圆上不同的三点，，，在第三象限，线段的中点在直线上．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求点C的坐标；

（3）设动点在椭圆上（异于点，，）且直线PB，PC分别交直线OA于，两点，证明为定值并求出该定值．

Answer

（1）求椭圆方程一般用待定系数法.本题已知椭圆过两点，列两个方程，解出的值,（2）求点的坐标，需列出两个方程.一是点C在椭圆上，即，二是的中点在直线上，即.注意到在第三象限，舍去正值.（3）题意明确，思路简洁，就是求出点的坐标，算出为定值.难点是如何消去参数.因为点在直线： 上，所以可设，．选择作为参数，即用表示点的坐标.由三点共线，解得，同理解得.从而有，这里主要用到代入化简.本题也可利用椭圆参数方程或三角表示揭示为定值.

【解析】

试题分析：（1）,（2）,（3）.

试题解析：（1）由已知，得 解得2分

所以椭圆的标准方程为． 3分

（2）设点，则中点为．

由已知，求得直线的方程为，从而．①

又∵点在椭圆上，∴．②

由①②，解得（舍），，从而． 5分

所以点的坐标为． 6分

（3）设，，．

∵三点共线，∴，整理，得． 8分

∵三点共线，∴，整理，得． 10分

∵点在椭圆上，∴，．

从而． 14分

所以 15分

∴为定值，定值为． 16分

考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系