Question

已知函数，其中m，a均为实数．

（1）求的极值；

（2）设，若对任意的，恒成立，求的最小值；

（3）设，若对任意给定的，在区间上总存在，使得 成立，求的取值范围．

Answer

（1）极大值为1，无极小值．（2）3 ．（3）．

【解析】

试题分析：（1）求函数极值，先明确定义域为再求其导数为．由，得x = 1.分析导数在定义区间符号正负，确定函数先增后减，所以y =有极大值为1，无极小值．（2）不等式恒成立问题，先化简不等式．化简不等式的难点有两个，一是绝对值，二是两个参量可从函数单调性去绝对值，分析两个函数，一是，二是.利用导数可知两者都是增函数，故原不等式等价于，变量分离调整为,这又等价转化为函数在区间上为减函数，即在上恒成立．继续变量分离得恒成立，即.最后只需求函数在上最大值,就为的最小值.（3）本题含义为：对于函数在上值域中每一个值，函数在上总有两个不同自变量与之对应相等．首先求出函数在上值域，然后根据函数在上必须不为单调函数且每段单调区间对应的值域都需包含.由在不单调得，由每段单调区间对应的值域都需包含得，.

试题解析：（1），令，得x = 1． 1分

列表如下：

x

（∞，1）

1

（1，∞）



0



g(x)

↗

极大值

↘

∵g(1) = 1，∴y =的极大值为1，无极小值． 3分

（2）当时，，．

∵在恒成立，∴在上为增函数． 4分

设，∵> 0在恒成立，

∴在上为增函数． 5分

设，则等价于，

即．

设，则u(x)在为减函数．

∴在（3，4）上恒成立． 6分

∴恒成立．设，∵=，x[3，4]，

∴，∴< 0，为减函数．

∴在[3，4]上的最大值为v(3) = 3 ． 8分

∴a≥3 ，∴的最小值为3 ． 9分

（3）由（1）知在上的值域为． 10分

∵，，

当时，在为减函数，不合题意． 11分

当时，，由题意知在不单调，

所以，即．①12分

此时在上递减，在上递增，

∴，即，解得．②

由①②，得． 13分

∵，∴成立． 14分

下证存在，使得≥1．

取，先证，即证．③

设，则在时恒成立．

∴在时为增函数．∴，∴③成立．

再证≥1．

∵，∴时，命题成立．

综上所述，的取值范围为． 16分

考点：函数极值，不等式恒成立