Question

如图，在三棱柱中，侧面为菱形，且，，是的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）求证：∥平面．

Answer

(1)证明见解析；(2)见解析．

【解析】

试题分析：(1)要证面面垂直，根据判定定理，要证线面垂直，也即要找线线垂直，在这个三棱柱中，已知的或者显而易见的垂直是我们首先要考虑的，如是底面等腰三角形的底边的中点，则有，又侧面是菱形且，那么在中可求得，即，从而我们可得到，结论得出；(2)要证线面平行，就是要在平面内找一条与待证直线平行的直线，这里我们可以想象一下，把直线平移，平移到过平面时，那么要找的直线就出来了，本题中把直线沿方向平移，当与重合时，要找的直线就有了，因此我们通过连接与相交于，就是我们所需要的平行线．当然解题时注意定理所需的条件一个都不能少．

试题解析：（1）证明：∵为菱形，且，

∴△为正三角形． 2分

是的中点，∴．

∵，是的中点，∴． 4分

，∴平面． 6分

∵平面，∴平面平面． 8分

（2）证明：连结，设，连结．

∵三棱柱的侧面是平行四边形，∴为中点． 10分

在△中，又∵是的中点，∴∥． 12分

∵平面，平面，∴∥平面． 14分

考点：(1)面面垂直；(2)线面平行．