Question

如图，在平面直角坐标系中，已知，，是椭圆上不同的三点，，，在第三象限，线段的中点在直线上．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求点C的坐标；

（3）设动点在椭圆上（异于点，，）且直线PB，PC分别交直线OA于，两点，证明为定值并求出该定值．

Answer

(1)；(2)；(3)．

【解析】

试题分析：(1)已知椭圆过两点，可把两点坐标代入方程列出关于的方程组，然后把分别作为整体，方程组就变为二元一次方程组，从而可很快解得；(2)关键是线段的中点在直线上，可设，由线段中点为，而直线的方程可求得，代入可得的一个方程，点坐标代入椭圆方程又得另一方程，联立可解得点坐标；(3)这类问题我们采取设而不求的方法，设，在直线上，则，同理，

，下面我们想办法把用表示出来，这可由共线，共线得到，这里要考查同学计算能力，只要计算正确，就能得出正确结论．

试题解析：（1）由已知，得解得 2分

所以椭圆的标准方程为． 3分

（2）设点，则中点为．

由已知，求得直线的方程为，从而．①

又∵点在椭圆上，∴．②

由①②，解得（舍），，从而． 5分

所以点的坐标为． 6分

（3）设，，．

∵三点共线，∴，整理，得． 8分

∵三点共线，∴，整理，得． 10分

∵点在椭圆上，∴，．

从而． 14分

所以． 15分

∴为定值，定值为． 16分

考点：(1)椭圆的标准方程；(2)中点问题；(3)定值问题．