Question

已知函数，其中m，a均为实数．

（1）求的极值；

（2）设，若对任意的，恒成立，求的最小值；

（3）设，若对任意给定的，在区间上总存在，使得成立，求的取值范围．

Answer

(1)极大值为1，无极小值；(2)3；(3)．

【解析】

试题分析：(1)求的极值，就是先求出，解方程，此方程的解把函数的定义域分成若干个区间，我们再确定在每个区间里的符号，从而得出极大值或极小值；（2）此总是首先是对不等式恒成立的转化，由（1）可确定在上是增函数，同样的方法（导数法）可确定函数在上也是增函数，不妨设，这样题设绝对值不等式可变为

，整理为，由此函数在区间上为减函数，则在（3，4）上恒成立，要求的取值范围．采取分离参数法得恒成立，于是问题转化为求在上的最大值；（3）由于的任意性，我们可先求出在上的值域，题设“在区间上总存在，使得

成立”，转化为函数在区间上不是单调函数，极值点为（），其次，极小值，最后还要证明在上，存在，使，由此可求出的范围.

试题解析：（1），令，得x=1． 1分

列表如下：

x

（∞，1）

1

（1，∞）



0



g(x)

↗

极大值

↘

∵g(1)=1，∴y=的极大值为1，无极小值． 3分

（2）当时，，．

∵在恒成立，∴在上为增函数． 4分

设，∵>0在恒成立，

∴在上为增函数． 5分

设，则等价于，

即．

设，则u(x)在为减函数．

∴在（3，4）上恒成立． 6分

∴恒成立．

设，∵=，x[3，4]，

∴，∴<0，为减函数．

∴在[3，4]上的最大值为v(3)=3． 8分

∴a≥3，∴的最小值为3． 9分

（3）由（1）知在上的值域为． 10分

∵，，

当时，在为减函数，不合题意． 11分

当时，，由题意知在不单调，

所以，即．① 12分

此时在上递减，在上递增，

∴，即，解得．②

由①②，得． 13分

∵，∴成立． 14分

下证存在，使得≥1．

取，先证，即证．③

设，则在时恒成立．

∴在时为增函数．∴，∴③成立．

再证≥1．

∵，∴时，命题成立．

综上所述，的取值范围为． 16分

考点：导数的应用，求单调区间，极值，求函数的值域，不等式恒成立等函数的综合应用.