Question

已知

（1）当时，求的极值；

（2）当时，讨论的单调性；

（3）若对任意的,恒有成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）极大值，极小值1；（2）参考解析；（3）

【解析】

试题分析：（1）由已知，求函数导函数，又.即可得到函数的极值点，从而求得极值.

（2）当时， 的导数为零时，得到两个零点.所以要讨论的大小，从而确定函数的单调性.

（3）因为对任意的,恒有成立.即求出的最大值.所以恒成立.再利用分离变量，即可得结论.

试题解析：（1）当a=1时可知在上是增函数，在上是减函数. 在 上是增函数

∴的极大值为，的极小值.

①当时，在和上是增函数，在上是减函数

②当时，在上是增函数；

③当时，在和上是增函数，在上是减函数

（3）当时，由（2）可知在上是增函数，

∴

由对任意的a∈(2, 4)，x­1, x2∈[1, 3]恒成立，

∴

即对任意恒成立，

即对任意恒成立，

由于，∴.

考点：1.函数的极值.2.函数的单调性.3.函数恒成立的问题.4.构造新函数利用函数的最值解决恒成立的问题.