Question

如图，正三棱柱所有棱长都是2，D棱AC的中点，E是棱的中点，AE交于点H.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）求点到平面的距离.

Answer

(1)参考解析；(2) ；(3)

【解析】

试题分析：(1)由正三棱柱，可得平面ACB⊥平面.又DB⊥AC.所以如图建立空间直角坐标系.分别点A,E,B,D, 的坐标，得出相应的向量.即可得到向量AE与向量BD，向量的数量积为零.即可得直线平面.

(2)由平面,平面分别求出这两个平面的法向量，根据法向量的夹角得到二面角的余弦值（根据图形取锐角）.

(3)点到平面的距离，转化为直线与法向量的关系，再通过解三角形的知识即可得点到平面的距离.本小题关键是应用解三角形的知识.

试题解析：（1）证明：建立如图所示，

∵

∴ 即AE⊥A1D， AE⊥BD

∴AE⊥面A1BD

（2）由 ∴取

设面AA1B的法向量为 ，

由图可知二面角D—BA1—A的余弦值为

（3），平面A1BD的法向量取

则B1到平面A1BD的距离d=

考点：1.空间坐标系的建立.2.线面垂直的证明.4.二面角的求法.5.点到平面的距离公式.