Question

已知函数.

（1）当时，求函数在上的最大值；

（2）令，若在区间上不单调，求的取值范围；

（3）当时，函数的图像与x轴交于两点，且，又是的导函数，若正常数满足条件.证明：.

Answer

(1)-1；(2) ；(3)参考解析

【解析】

试题分析：(1)因为函数，当时.求出函数的导数，即可得到上函数的单调性，从而得到函数的最大值.

(2)因为，若在区间上不单调，即等价于函数在（0，3）上有实数解，且无重根.所以由，分离变量，通过研究函数，的范围，即可得到取值范围.

(3)因为当时，函数的图像与x轴交于两点，所以可得即可用表示m.又由化简.可消去m.即可得到关于的代数式，再利用导数知识求出的最值即可得结论.

试题解析：（1）

函数在[,1]是增函数，在[1,2]是减函数，

所以．

（2）因为，所以，

因为在区间上不单调，所以在（0，3）上有实数解，且无重根，

由，有=，（）

所以

（3）∵，又有两个实根，

∴，两式相减，得，

∴,

于是

．

．

要证：，只需证：

只需证：．(*)

令，∴(*)化为 ，只证即可． 在（0，1）上单调递增，，即．

∴．

考点：1.函数的最值.2.函数的单调性的应用.3.等价变换数学思想.4.换元的数学思想.5.运算量较大属于有难度题型.