Question

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30。，斜边AC上的中线BD=2，现沿BD将△BCD折起成三棱锥C-ABD，已知G是线段BD的中点，E，F分别是CG，AG的中点．

（1）求证：EF／／平面ABC；

（2）三棱锥C—ABD中，若棱AC=，求三棱锥A一BCD的体积．

Answer

（1）证明过程详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要以平面图形的翻折为几何背景，考查三棱锥中的线线平行、线面平行、线面垂直以及三棱锥的体积等数学知识，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力.第一问，由题意得EF//AC，利用线面平行的判定得线面平行；第二问，在中，利用余弦定理可以求出AG的边长，在中，利用三个边长的关系，可判断出，所以利用线面垂直的判定可以得到平面ABD，所以CG是锥体的高，利用等体积法将转化为，从而求出锥体的体积.

试题解析：(1) 证明：⑴ EF是的中位线EF//AC 3分

又AC平面ABC EF平面ABC

EF//平面ABC 6分

⑵在中，，由余弦定理得：

， 8分

而

即CGAG，又CGBD 平面ABD 10分

12分

考点：1.线面平行的判定；2.线面垂直的判定；3.余弦定理；4.等体积法.