Question

已知数列为等差数列，其公差d不为0，和的等差中项为11，且，令，数列的前n项和为.

（1）求及；

（2）是否存在正整数m，n（1<m<n），使得成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1），；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的定义、通项公式、性质以及裂项相消法求和等数学知识，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，先利用等差中项的概念将和的等差中项为11，转化为，与已知联立，利用等差数列的通项公式展开，解方程组得出基本量和，从而求出等差数列的通项公式，将代入到中，利用裂项相消法求和；第二问，先假设存在m和n，利用已知看能不能求出m和n的值，利用第一问的结论，得出的值，由已知成等比数列，则，整理得到关于m，n的方程，通过解方程得出m和n的值.

试题解析：（Ⅰ）因为为等差数列，公差为，则由题意得

整理得

所以 3分

由

所以 6分

（Ⅱ）假设存在

由（Ⅰ）知，，所以

若成等比，则有

8分

，（1）

因为，所以， 10分

因为，当时，代入（1）式，得；

综上，当可以使成等比数列。 12分

考点：1.等差数列的通项公式；2.等差中项；3.等比数列的定义；4.裂项相消法.